Razones y Funciones Trigonometricas

Razones trigonométricas

Debido a que un triángulo tiene tres lados, se pueden establecer seis razones, dos entre cada pareja de estos lados. Las razones trigonométricas de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo son las siguientes:

Seno: razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa.

Coseno: razón entre el cateto adyacente al ángulo y la hipotenusa.

Tangente: razón entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto adyacente.

Cotangente: razón entre el cateto adyacente al ángulo y el cateto opuesto.

Secante: razón entre la hipotenusa y el cateto adyacente al ángulo.

Cosecante: razón entre la hipotenusa y el cateto opuesto al ángulo.

Teorema de Pitágoras:

"En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos". Y, "En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de uno de los catetos es igual a la diferencia entre el cuadrado de la hipotenusa y el cuadrado del otro cateto".

Ejercicios resueltos

S o l u c i o n e s

1. Para poder calcular las seis razones trigonométricas necesitamos hallar la medida del otro cateto; esto lo hacemos aplicando el Teorema de Pitágoras. Una vez hallado el valor de este cateto, procedemos a encontrar los valores de las razones por medio sus respectivas definiciones:

2. Primero hallamos el valor de la hipotenusa, aplicando el Teorema de Pitágoras; luego, calculamos las razones trigonométricas, a partir de sus respectivas definiciones y con los datos dados y obtenidos:

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS: FUNCIÓN SENO, FUNCIÓN COSENO Y FUNCIÓN TANGENTE.

INTRODUCCIÓN
Las funciones trigonométricas surgen de una forma natural al estudiar el triángulo rectángulo y observar que las razones (cocientes) entre las longitudes de dos cualesquiera de sus lados sólo dependen del valor de los ángulos del triángulo. Pero vayamos por partes.
Primero consideraremos triángulos rectángulos ABC, rectángulos en A, con <B = 60º y <C = 30º. Todos los triángulos que dibujemos con estos ángulos son semejantes, y, por ello, las medidas de sus lados proporcionales:

Esto quiere decir que si calculamos en el primer triángulo AC/BC obtendremos el mismo resultado que si calculamos en el segundo triángulo el cociente A'C'/B'C'. Se supone que esto lo conoces de cursos anteriores, pero si eres desconfiado y el razonamiento no te convence del todo, tienes algunas posibilidades:
Una consiste en dibujar con mucho cuidadito triángulos distintos con ángulos 90º, 60º y 30º y calcular los resultados de las divisiones anteriores (el cateto opuesto al ángulo de 60º dividido por la longitud de la hipotenusa) para así comprobar que siempre se obtiene el mismo resultado (aprox 0.87).
Otra posibilidad es hacer exactamente lo mismo pero dibujando triángulos, midiendo y dividiendo las longitudes con ayuda de algún programa informático (Cabri, Dr.Geo, etc.).
Otra es ir hasta el primer applet que te encuentres en esta página (pero sin saltarte lo que viene a continuación).
Si realizamos las mismas divisiones en triángulos rectángulos con ángulos distintos a los anteriores (por ejemplo: 90º, 40º, 50º) veremos que sucede lo mismo: al dividir la longitud del cateto opuesto al ángulo de 40º entre la longitud de la hipotenusa se obtiene siempre el mismo resultado (aprox 0.64).
A ese valor constante que se obtiene al dividir la longitud del cateto opuesto al ángulo de 40º entre la longitud de la hipotenusa se le llama seno de 40º, y se escribe sen(40º) = 0.64.
(Estas explicaciones se tratarán con más detalle en clase y a partir de aquí definiremos las razones trigonométricas de ángulos agudos de triángulos rectángulos).

1. DEFINICIÓN DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS:

En un triángulo rectángulo se define como seno de un ángulo agudo al valor obtenido al dividir la longitud del cateto opuesto al ángulo entre la longitud de la hipotenusa.
Se define como coseno de un ángulo agudo al valor obtenido al dividir la longitud del cateto contiguo al ángulo entre la longitud de la hipotenusa.
Se define como tangente de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo al valor del cociente obtenido al dividir la longitud del cateto opuesto entre la longitud del cateto contiguo.

sen(B) = AC/BC
cos(B) = BA/BC
tan(B) = AC/BA

Estudiaremos inmediatamente algunas de las propiedades importantes de las razones trigonométricas, así como algunas de sus aplicaciones prácticas.
Pero antes de continuar verás a continuación un applet que te permitirá dibujar triángulos rectángulos en los que el valor de un ángulo agudo lo fijas tú, el tamaño del triángulo lo puedes cambiar y el applet te mostrará que los valores del seno, coseno y tangente no dependen más que del ángulo, no del tamaño del triángulo.

2. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS CUALESQUIERA:
Las razones trigonométricas se generalizan para ángulos cualesquiera utilizando una circunferencia de radio 1 y cuyo centro está situado en el origen. Los ángulos se miden en sentido antihorario y desde la dirección positiva del eje de abscisas.
En el siguiente applet podrás variar el ángulo, y para el valor del ángulo elegido aparecerá un triángulo rectángulo OPQ. La hipotenusa es el radio, por lo que mide 1. Para un valor concreto del ángulo se llama sen(a) al cociente obtenido al dividir la longitud del cateto opuesto entre la longitud de la hipotenusa: PQ/OQ = PQ/1 = PQ. De la misma forma generalizamos el concepto de coseno: llamaremos cos(a) a la longitud de la proyección del radio sobre el eje de abscisas, cos(a) = OQ. (OQ/OP = OQ/1 = OQ)
Los segmentos PQ se miden sobre el eje de ordenadas (vertical) y por ello, dependiendo del valor del ángulo, tienen signo positivo o negativo.
Los segmentos OQ los medimos sobre el eje de abcisas (horizontal), por lo que el seno del ángulo elegido será positivo o negativo dependiendo del cuadrante en el que se encuentre.
La tangente de un ángulo cualquiera la obtendremos dividiendo el valor del seno entre el del coseno.
Las razones trigonométricas de ángulos negativos se obtienen igual, pero los ángulos los medimos en sentido contrario (en sentido horario).

3. PROPIEDADES IMPORTANTES:
Existen algunas propiedades importantes que serán explicadas en clase:
a) sen²(a) + cos²(a) = 1 (Esta igualdad se conoce con el nombre de fórmula fundamental de la trigonometría). (Se demuestra fácilmente aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo OPQ)
b) tan(a) = sen(a)/cos(a). (Se demuestra a partir de las definiciones de seno, coseno y tangente)
c) los valores del seno y del coseno están comprendidos entre -1 y 1.

4. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS:
Al estar definidos los senos, cosenos y tangentes para cualquier ángulo (¿las tangentes existen para cualquier ángulo?), dan lugar al concepto de funciones trigonométricas: función seno, función coseno y función tangente. Es imprescindible familiarizarse con las gráficas de cada una de estas funciones y conocer sus características principales.

Complementos de algunas funciones

Funcion seno

Definición:

Es una función definida de reales en reales cuya fórmula es:

¦ : Â ® Â / y = sen x

El conjunto imagen es el intervalo [ -1; 1]. Esta función es una de las denominadas circulares ya que la imagen para cada elemento del dominio está definida por el cociente entre los catetos e hipotenusa de un triángulo rectángulo determinado por el radio vector de una circunferencia trigonométrica ( radio = 1), el eje de abscisas y el eje de ordenadas, en este caso es sen x = cateto opuesto / hipotenusa.

Su período es 2p .

Los ceros de la función son los x que responden a :

x = kp , con k Î Z

Clasificación:

No es una función inyectiva ni sobreyectiva porque:

1. Dos elementos distintos del dominio que difieran en 2p tienen igual imagen, por lo tanto no es inyectiva.

2. Existe por lo menos un elemento del codominio, por ejemplo y = 2 que no tiene preimágen.

Es una función impar ya que elementos opuestos tienen imágenes opuestas.

Si se considera todo su dominio no se puede decir nada acerca de si es o no estrictamente creciente o decreciente. Hay que considerar el análisis por intervalos.

Función coseno

Definición:

Es una función definida de reales en reales cuya fórmula es:

¦ : Â ® Â / y = cos x

El conjunto imagen es el intervalo [ -1; 1]. Esta función es una de las denominadas circulares ya que la imagen para cada elemento del dominio está definida por el cociente entre los catetos e hipotenusa de un triángulo rectángulo definido por el radio vector de una circunferencia trigonométrica ( radio = 1), el eje de abscisas y el eje de ordenadas, en este caso se define cos x = cateto adyacente / hipotenusa.

Su período es 2p .

Los ceros de la función son los x que responden a :

x = (2k + 1) p/2 , con k Î Z

Clasificación:

No es una función inyectiva ni sobreyectiva porque:

1. Dos elementos distintos del dominio que difieran en 2p tienen igual imagen, por lo tanto no es inyectiva.

2. Existe por lo menos un elemento del codominio, por ejemplo y = 2 que no tiene preimágen.

Es una función par ya que elementos opuestos tienen imágenes iguales.

Si se considera todo su dominio no se puede decir nada acerca de si es o no estrictamente creciente o decreciente. Hay que considerar el análisis por intervalos.

Función tangente

Definición:

Es una función definida de un conjunto A en los reales cuya fórmula es:

¦ : A ® Â / y = tan x , con A = Â - { x / x = (2k+1) p/2 }

El conjunto imágen es R. Esta función es una de las denominadas circulares ya que la imagen para cada elemento del dominio está definida por el cociente entre los catetos e hipotenusa de un triángulo rectágulo determinado por el radio vector de una circunferencia trigonométrica ( radio = 1), el eje de abscisas y el eje de ordenadas, en este caso se define tan x = cateto opuesto / cateto adyacente. Si la definimos en función de sen x y cos x, da: tan x = sen x / cos x.

Su período es p .

Los ceros de la función son los x que responden a :

x = k p , con k Î Z

La función tan x presenta asíntotas para los valores del dominio donde el coseno de los mismos vale cero . Estos son:

H = { x / x = (2k+1) p/2 }

Clasificación:

No es una función inyectiva pero si es sobreyectiva porque:

1. Dos elementos distintos del dominio que difieran en p tienen igual imágen, por lo tanto no es inyectiva.

2. El conjunto imagen coincide con el codominio.

Es una función par ya que elementos opuestos tienen imágenes iguales.

Si se considera todo su dominio no se puede decir nada acerca de si es o no estrictamente creciente o decreciente. Hay que considerar el análisis por intervalos.

NOTA:

Para graficar las funciones visitar la parte de enlaces

15/09/07 · 3 comentarios · Autor: mario17 ·

numero racionalen sentido amplio se llama numero racional o 2

Número racional

En sentido amplio se llama número racional o fracción común a todo número que puede representarse como el cociente de dos enteros con denominador distinto de cero; el término "racional" alude a "ración" o parte de un todo, y no al pensamiento o actitud racional, para no confundir este término con un atributo del pensamiento humano.
En sentido estricto, número racional es el conjunto de todas las fracciones equivalentes a una dada. De todas ellas se toma como representante canónico del número racional en cuestión a la fracción irreducible, la de términos más sencillos. Las fracciones equivalentes entre sí -número racional- son una clase de equivalencia, resultado de la aplicación de una relación de equivalencia al conjunto de números fraccionarios.
El número racional permite resolver ecuaciones del tipo ax = b cuando a y b son números enteros.
El conjunto de los racionales se denota por $\mathbb{Q}$ , que significa quotient, "cociente" en varios idiomas europeos. Este conjunto de números incluye a los números enteros y es un subconjunto de los números reales.
Los números racionales cumplen la propiedad arquimediana o de densidad, esto es, para cualquier pareja de números racionales existe otro número racional situado entre ellos, propiedad que no estaba presente en los números enteros, por lo que los números racionales son densos en la recta de los números reales.

Tabla de contenidos

1.Construcción de los números racionales

Consideremos las parejas de números enteros $\left( a,b\right)$ donde $b\neq 0$ .
$\frac{a}{b}$ denota a $\left( a,b\right)$ . A $a$ se le llama numerador y a $b$ se le llama denominador
Al conjunto de estos números se le denota por $\mathbb{Q}$ . Es decir $\mathbb{Q}=\left\{ \frac{p}{q}\mid p\in\mathbb{Z},q\in\mathbb{Z},q\neq0\right\}$

1.1Definición de suma y multiplicación en Q

Se define a la suma $\frac{a}{b}+\frac{c}{d} = \frac{ad+bc}{bd}$
Se define a la multiplicación $\frac{a}{b}\times\frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$

1.2Relaciones de equivalencia y orden en Q

Se define la equivalencia $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ cuando $a d = b c$
Los racionales positivos son todos los $\frac{a}{b}$ tales que $a b > 0$
Los racionales negativos son todos los $\frac{a}{b}$ tales que $a b < 0$
Se define el orden $\frac{a}{b}>\frac{c}{d}$ cuando $a d - b c > 0$

1.3Notación

Los números de tipo $\frac{-a}{b}$ son denotados por $-\frac{a}{b}$
Las sumas de tipo $\frac{a}{b}+\frac{-c}{d}$ son denotadas por $\frac{a}{b}-\frac{c}{d}$
$\frac{a}{b}\left(\frac{c}{d}\right)$ denota a $\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}$
Todo número $\frac{p}{1}$ se denota simplemente por $p$ .

2.Propiedades de los números racionales

El conjunto de los números racionales con la suma y multiplicación definida de esta manera forman un campo.

2.1Propiedades de la suma y multiplicación

La suma en Q es conmutativa, esto es: $\frac{a}{b}+\frac{c}{d} = \frac{c}{d}+\frac{a}{b}$
La suma en Q es asociativa, esto es: $\frac{a}{b}+\left(\frac{c}{d}+\frac{p}{q}\right) = \left(\frac{a}{b}+\frac{c}{d}\right)+\frac{p}{q}$
La multiplicación en Q es conmutativa, esto es: $\frac{a}{b}\times\frac{c}{d} = \frac{c}{d}\times\frac{a}{b}$
La multiplicación en Q es asociativa, esto es: $\frac{a}{b}\times\left(\frac{c}{d}\times\frac{p}{q}\right) = \left(\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}\right)\times\frac{p}{q}$
La multiplicación se distribuye en la suma, esto es $\frac{a}{b}\times\left(\frac{c}{d}+\frac{p}{q}\right) = \left(\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}\right)+\left(\frac{a}{b}\times\frac{p}{q}\right)$

2.2Existencia de neutros e inversos

Para cualquier racional $\frac{a}{b}$ se cumple que $\frac{a}{b}+\frac{0}{1}=\frac{a}{b}$ entonces $\frac{0}{1}$ es el neutro aditivo de los racionales y se le denota por $0$ .
Para cualquier racional $\frac{a}{b}$ se cumple que $\frac{a}{b}\times\frac{1}{1}=\frac{a}{b}$ entonces $\frac{1}{1}$ es el neutro multiplicativo de los racionales y se le denota por $1$ .
Cada número racional $\frac{a}{b}$ tiene un inverso aditivo $\frac{-a}{b}$ tal que $\frac{a}{b}+\frac{-a}{b}=0$
Cada número racional $\frac{a}{b}$ con excepción de $0$ tiene un inverso multiplicativo $\frac{b}{a}$ tal que $\frac{a}{b}\times\frac{b}{a}=1$

2.3Equivalencias notables en Q

$\frac{ca}{cb}=\frac{a}{b}$ si y sólo si $c\neq 0$

$\frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{a+b}{c}$
$\frac{-a}{b}=\frac{a}{-b}=-\frac{a}{b}$
$\frac{0}{a}=\frac{0}{b}=0$
$\frac{a}{a}=\frac{b}{b}=1$

2.4Los números enteros en Q

Si $p$ es un número entero entonces existe el número $\frac{p}{1}$ que equivale a $p$ y mantiene todas sus propiedades de entero. Es decir, se define $\mathcal{I}_{\mathbb{Q}}:\mathbb{Z\rightarrow\mathbb{Q}},\;\mathcal{I}_{\mathbb{Q}}\left(p\right)=\frac{p}{1}$

3.Otras notaciones de números en Q

3.1Fracciones mixtas

Cada número racional $\frac{p}{q}$ se puede expresar de forma única como $u\left(A+\frac{a}{b}\right)$ donde

A es un entero no negativo, es decir $A\in \mathbb{Z},~A\geq 0$
$\frac{a}{b}$ es un racional irreducible no negativo menor que uno. Se expresa como $\mathrm{mcd}\left( a,b\right)=1, \quad 0\leq a< b$
$u$ es una unidad. Es decir $u=\pm 1$

La notación es muy sencilla, las reglas son

$A\frac{a}{b}$ denota a $A+\frac{a}{b}$
$-A\frac{a}{b}$ denota a $-A-\frac{a}{b}$

Por ejemplo $-25\frac{5}{7}=-\frac{180}{7}$

3.2El conjunto de los números decimales en Q

Un número decimal es un número racional de la forma $\frac{a}{10^n}$
$\mathbb{D}$ denota al conjunto de los números de este tipo. Es decir $\mathbb{D}=\left\{\frac{a}{10^n}\mid \frac{a}{10^n}\in\mathbb{Q}\right\}$
Expresión decimal de un número decimal: el número $a$ en base $10$ con un punto a $n$ lugares del extremo derecho, por ejemplo $\frac{178}{10^2}$ se denota como $1.78$

3.3Representación decimal de los racionales

Los racionales se caracterizan por tener un desarrollo decimal cuya expresión sólo puede ser de tres tipos:

Exacta: la parte decimal tiene un número finito de cifras. Ejemplo:

$\frac 8 5 = 1.6$

Periódica pura: toda la parte decimal se repite indefinidamente. Ejemplo:

$\begin{array}{rcl}\cfrac 1 7&=&0.142857142857\dots\\&=&0.\overline{142857}\end{array}$

Periódica mixta: no toda la parte decimal se repite. Ejemplo:

$\begin{array}{rcl}\cfrac 1 {60}&=&0.0666\dots\\&=&0.0\overline{6}\end{array}$

En efecto, al aplicar el algoritmo para dividir un entero por otro, sólo existen un número finito de restos posibles. Siendo la sucesión de restos infinita, aparecerá forzosamente un mismo resto en dos posiciones distintas. A partir de ellas, el cálculo se repite igual. Ejemplo:

$\begin{array}{r} 0.1428571\ldots\\ 7\overline{)10\;\,\;\,\;\,\;\,\;\,\;\,\;\,\;\,\;\,\;\,}\\ 30\;\,\;\,\;\,\;\,\;\,\;\,\;\,\;\,\;\,\\ 20\;\,\;\,\;\,\;\,\;\,\;\,\;\,\;\,\\ 60\;\,\;\,\;\,\;\,\;\,\;\,\;\,\\ 40\;\,\;\,\;\,\;\,\;\,\;\,\\ 50\;\,\;\,\;\,\;\,\;\,\\ 10\;\,\;\,\;\,\;\,\\ \vdots\;\,\;\,\;\,\;\, \end{array}$

Recíprocamente, todo número con un desarrollo decimal puede expresarse en fracción de la siguiente manera:

Decimales exactos o finitos: Se escribe en el numerador la expresión decimal sin la coma, y en el denominador un uno seguido de tantos ceros como cifras decimales. Ejemplo: $34.65 = \frac{3465}{100}$
Decimales periódicos puros: La fracción de un número decimal periódico tiene como numerador la diferencia entre el número escrito sin la coma y la parte anterior al periodo; y como denominador, tantos "9" como cifras tiene el periodo. Ejemplo: $15.3434\dots=\frac{1534-15}{99}$
Decimales periódicos mixtos: Tendrá como numerador la diferencia entre $a$ y $b$ , donde $a$ es el número escrito sin la coma, y $b$ es el número sin la parte decimal periódica, escrito como número entero. El denominador tendrá tantos "9" como cifras tiene el periodo y otros tantos "0" como cifras decimales no periódicas haya. Ejemplo: Sea el número $12.345676767\dots$ entonces $a = 1234567$ y $b = 12345$ , por lo que el número buscado será ${1234567-12345}\over{99000}$ .

19/07/07 · 0 comentarios · Autor: mario17 ·

numero racionalen sentido amplio se llama numero racional o

Número racional

Tabla de contenidos

1.Construcción de los números racionales

Consideremos las parejas de números enteros $\left( a,b\right)$ donde $b\neq 0$ .
$\frac{a}{b}$ denota a $\left( a,b\right)$ . A $a$ se le llama numerador y a $b$ se le llama denominador
Al conjunto de estos números se le denota por $\mathbb{Q}$ . Es decir $\mathbb{Q}=\left\{ \frac{p}{q}\mid p\in\mathbb{Z},q\in\mathbb{Z},q\neq0\right\}$

1.1Definición de suma y multiplicación en Q

Se define a la suma $\frac{a}{b}+\frac{c}{d} = \frac{ad+bc}{bd}$
Se define a la multiplicación $\frac{a}{b}\times\frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$