Razones y Funciones Trigonometricas
Razones trigonométricas
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Seno: razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa.
Coseno: razón entre el cateto adyacente al ángulo y la hipotenusa.
Tangente: razón entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto adyacente.
Cotangente: razón entre el cateto adyacente al ángulo y el cateto opuesto.
Secante: razón entre la hipotenusa y el cateto adyacente al ángulo.
Cosecante: razón entre la hipotenusa y el cateto opuesto al ángulo.
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Teorema de Pitágoras: "En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos". Y, "En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de uno de los catetos es igual a la diferencia entre el cuadrado de la hipotenusa y el cuadrado del otro cateto".
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Ejercicios resueltos |
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1. Para poder calcular las seis razones trigonométricas necesitamos hallar la medida del otro cateto; esto lo hacemos aplicando el Teorema de Pitágoras. Una vez hallado el valor de este cateto, procedemos a encontrar los valores de las razones por medio sus respectivas definiciones: |
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2. Primero hallamos el valor de la hipotenusa, aplicando el Teorema de Pitágoras; luego, calculamos las razones trigonométricas, a partir de sus respectivas definiciones y con los datos dados y obtenidos: |
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FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS: FUNCIÓN SENO, FUNCIÓN COSENO Y FUNCIÓN TANGENTE. INTRODUCCIÓN Esto quiere decir que si calculamos en el primer triángulo AC/BC obtendremos el mismo resultado que si calculamos en el segundo triángulo el cociente A'C'/B'C'. Se supone que esto lo conoces de cursos anteriores, pero si eres desconfiado y el razonamiento no te convence del todo, tienes algunas posibilidades: 1. DEFINICIÓN DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS: En un triángulo rectángulo se define como seno de un ángulo agudo al valor obtenido al dividir la longitud del cateto opuesto al ángulo entre la longitud de la hipotenusa. sen(B) = AC/BC Estudiaremos inmediatamente algunas de las propiedades importantes de las razones trigonométricas, así como algunas de sus aplicaciones prácticas.
2. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS CUALESQUIERA: 3. PROPIEDADES IMPORTANTES: 4. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS:
Las funciones trigonométricas surgen de una forma natural al estudiar el triángulo rectángulo y observar que las razones (cocientes) entre las longitudes de dos cualesquiera de sus lados sólo dependen del valor de los ángulos del triángulo. Pero vayamos por partes.
Primero consideraremos triángulos rectángulos ABC, rectángulos en A, con <B = 60º y <C = 30º. Todos los triángulos que dibujemos con estos ángulos son semejantes, y, por ello, las medidas de sus lados proporcionales:
Una consiste en dibujar con mucho cuidadito triángulos distintos con ángulos 90º, 60º y 30º y calcular los resultados de las divisiones anteriores (el cateto opuesto al ángulo de 60º dividido por la longitud de la hipotenusa) para así comprobar que siempre se obtiene el mismo resultado (aprox 0.87).
Otra posibilidad es hacer exactamente lo mismo pero dibujando triángulos, midiendo y dividiendo las longitudes con ayuda de algún programa informático (Cabri, Dr.Geo, etc.).
Otra es ir hasta el primer applet que te encuentres en esta página (pero sin saltarte lo que viene a continuación).
Si realizamos las mismas divisiones en triángulos rectángulos con ángulos distintos a los anteriores (por ejemplo: 90º, 40º, 50º) veremos que sucede lo mismo: al dividir la longitud del cateto opuesto al ángulo de 40º entre la longitud de la hipotenusa se obtiene siempre el mismo resultado (aprox 0.64).
A ese valor constante que se obtiene al dividir la longitud del cateto opuesto al ángulo de 40º entre la longitud de la hipotenusa se le llama seno de 40º, y se escribe sen(40º) = 0.64.
(Estas explicaciones se tratarán con más detalle en clase y a partir de aquí definiremos las razones trigonométricas de ángulos agudos de triángulos rectángulos).
Se define como coseno de un ángulo agudo al valor obtenido al dividir la longitud del cateto contiguo al ángulo entre la longitud de la hipotenusa.
Se define como tangente de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo al valor del cociente obtenido al dividir la longitud del cateto opuesto entre la longitud del cateto contiguo.
cos(B) = BA/BC
tan(B) = AC/BA
Pero antes de continuar verás a continuación un applet que te permitirá dibujar triángulos rectángulos en los que el valor de un ángulo agudo lo fijas tú, el tamaño del triángulo lo puedes cambiar y el applet te mostrará que los valores del seno, coseno y tangente no dependen más que del ángulo, no del tamaño del triángulo.
Las razones trigonométricas se generalizan para ángulos cualesquiera utilizando una circunferencia de radio 1 y cuyo centro está situado en el origen. Los ángulos se miden en sentido antihorario y desde la dirección positiva del eje de abscisas.
En el siguiente applet podrás variar el ángulo, y para el valor del ángulo elegido aparecerá un triángulo rectángulo OPQ. La hipotenusa es el radio, por lo que mide 1. Para un valor concreto del ángulo se llama sen(a) al cociente obtenido al dividir la longitud del cateto opuesto entre la longitud de la hipotenusa: PQ/OQ = PQ/1 = PQ. De la misma forma generalizamos el concepto de coseno: llamaremos cos(a) a la longitud de la proyección del radio sobre el eje de abscisas, cos(a) = OQ. (OQ/OP = OQ/1 = OQ)
Los segmentos PQ se miden sobre el eje de ordenadas (vertical) y por ello, dependiendo del valor del ángulo, tienen signo positivo o negativo.
Los segmentos OQ los medimos sobre el eje de abcisas (horizontal), por lo que el seno del ángulo elegido será positivo o negativo dependiendo del cuadrante en el que se encuentre.
La tangente de un ángulo cualquiera la obtendremos dividiendo el valor del seno entre el del coseno.
Las razones trigonométricas de ángulos negativos se obtienen igual, pero los ángulos los medimos en sentido contrario (en sentido horario).
Existen algunas propiedades importantes que serán explicadas en clase:
a) sen2(a) + cos2(a) = 1 (Esta igualdad se conoce con el nombre de fórmula fundamental de la trigonometría). (Se demuestra fácilmente aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo OPQ)
b) tan(a) = sen(a)/cos(a). (Se demuestra a partir de las definiciones de seno, coseno y tangente)
c) los valores del seno y del coseno están comprendidos entre -1 y 1.
Al estar definidos los senos, cosenos y tangentes para cualquier ángulo (¿las tangentes existen para cualquier ángulo?), dan lugar al concepto de funciones trigonométricas: función seno, función coseno y función tangente. Es imprescindible familiarizarse con las gráficas de cada una de estas funciones y conocer sus características principales.
Complementos de algunas funciones
Funcion seno
Es una función definida de reales en reales cuya fórmula es:
¦ : Â ® Â / y = sen x
El conjunto imagen es el intervalo [ -1; 1]. Esta función es una de las denominadas circulares ya que la imagen para cada elemento del dominio está definida por el cociente entre los catetos e hipotenusa de un triángulo rectángulo determinado por el radio vector de una circunferencia trigonométrica ( radio = 1), el eje de abscisas y el eje de ordenadas, en este caso es sen x = cateto opuesto / hipotenusa.
Su período es 2p .
Los ceros de la función son los x que responden a :
x = kp , con k Î Z
Clasificación:
No es una función inyectiva ni sobreyectiva porque:
1. Dos elementos distintos del dominio que difieran en 2p tienen igual imagen, por lo tanto no es inyectiva.
2. Existe por lo menos un elemento del codominio, por ejemplo y = 2 que no tiene preimágen.
Es una función impar ya que elementos opuestos tienen imágenes opuestas.
Si se considera todo su dominio no se puede decir nada acerca de si es o no estrictamente creciente o decreciente. Hay que considerar el análisis por intervalos.
Función coseno
Es una función definida de reales en reales cuya fórmula es:
¦ : Â ® Â / y = cos x
El conjunto imagen es el intervalo [ -1; 1]. Esta función es una de las denominadas circulares ya que la imagen para cada elemento del dominio está definida por el cociente entre los catetos e hipotenusa de un triángulo rectángulo definido por el radio vector de una circunferencia trigonométrica ( radio = 1), el eje de abscisas y el eje de ordenadas, en este caso se define cos x = cateto adyacente / hipotenusa.
Su período es 2p .
Los ceros de la función son los x que responden a :
x = (2k + 1) p/2 , con k Î Z
Clasificación:
No es una función inyectiva ni sobreyectiva porque:
1. Dos elementos distintos del dominio que difieran en 2p tienen igual imagen, por lo tanto no es inyectiva.
2. Existe por lo menos un elemento del codominio, por ejemplo y = 2 que no tiene preimágen.
Es una función par ya que elementos opuestos tienen imágenes iguales.
Si se considera todo su dominio no se puede decir nada acerca de si es o no estrictamente creciente o decreciente. Hay que considerar el análisis por intervalos.
Es una función definida de un conjunto A en los reales cuya fórmula es:
¦ : A ® Â / y = tan x , con A = Â - { x / x = (2k+1) p/2 }
El conjunto imágen es R. Esta función es una de las denominadas circulares ya que la imagen para cada elemento del dominio está definida por el cociente entre los catetos e hipotenusa de un triángulo rectágulo determinado por el radio vector de una circunferencia trigonométrica ( radio = 1), el eje de abscisas y el eje de ordenadas, en este caso se define tan x = cateto opuesto / cateto adyacente. Si la definimos en función de sen x y cos x, da: tan x = sen x / cos x.
Su período es p .
Los ceros de la función son los x que responden a :
x = k p , con k Î Z
La función tan x presenta asíntotas para los valores del dominio donde el coseno de los mismos vale cero . Estos son:
H = { x / x = (2k+1) p/2 }
Clasificación:
No es una función inyectiva pero si es sobreyectiva porque:
1. Dos elementos distintos del dominio que difieran en p tienen igual imágen, por lo tanto no es inyectiva.
2. El conjunto imagen coincide con el codominio.
Es una función par ya que elementos opuestos tienen imágenes iguales.
Si se considera todo su dominio no se puede decir nada acerca de si es o no estrictamente creciente o decreciente. Hay que considerar el análisis por intervalos.
bete al carajo dijo
perdon no era mi intencion ofenderte es que estoy sencible por que estoy en mis diaz bye
23 Marzo 2009 | 10:42 PM